Barisan dan Deret Geometri

BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un
disebut barisan geometri,
jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un /
Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut
pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......ar
n-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = ar
n-1
®
fungsi eksponen (dalam n)
2. DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut
deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
^ = pangkat
Jumlah n suku
Sn = a(r
^n
-1)/r-1 , jika r>1
Sn= a(1-r
^n
)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan: a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1
c. Barisan geometri akan turun,
jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1 Bergantian naik turun, jika r < 0 d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________ Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst. f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar 3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + .............................. ¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1 dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga S ¥ = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r² Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r PENGGUNAAN Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal) M0, M1, M2, ............., Mn M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0 M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0 . . . . Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0 Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir) M0, M1, M2, .........., Mn M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0 M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100) (1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . . Mn = {1 + P/100}n M0 Keterangan : M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode Catatan: Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga
untuk masalah penyusutan
mesin, peluruhan bahan
radio aktif (p < 0).